Как разделить круг на равные. Урок «Деление окружности на равные части

Во время ремонта часто приходится иметь дело с окружностями, особенно если хочется создать интересные и оригинальные элементы декора. Также часто приходится делить их на равные части. Чтобы сделать это есть несколько методов. Например, можно нарисовать правильный многоугольник или использовать известные всем еще со школы инструменты. Так, для того чтобы разделить окружность на равные части понадобятся сама окружность с четко определенным центром, карандаш, транспортир, а также линейка и циркуль.

Деление окружности при помощи транспортира

Разделение окружности на равные части при помощи вышеупомянутого инструмента является, пожалуй, самым простым. Известно, что окружность – это 360 градусов. Разделив это значение на нужное количество частей можно узнать, сколько будет занимать каждая часть (см. фото).

Далее, начиная с любой точки, можно сделать пометки, соответствующие проведенным расчетам. Этот метод хорош, когда окружность нужно разделить на 5, 7, 9 и т.д. частей. Например, если фигуру необходимо разделить на 9 частей, отметки будут находиться на 0, 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280 и 320 градусах.

Деление на 3 и 6 частей

Чтобы правильно разделить окружность на 6 частей можно использовать свойство правильного шестиугольника, т.е. его самая длинная диагональ должна составлять две длины его стороны. Для начала циркуль необходимо растянуть на длину равную радиусу фигуры. Далее оставляя одну из ножек инструмента в любой точке окружности, второй необходимо сделать засечку, после чего повторяя манипуляции, получится сделать шесть точек, соединив которые можно получить шестиугольник (см. фото).

Соединив вершины фигуры через одну, можно получить правильный треугольник, а соответственно фигуру можно поделить на 3 равные части, а соединив все вершины и проведя через них диагонали можно разделить фигуру на 6 частей.

Деление на 4 и 8 частей

Если окружность необходимо поделить на 4 равные части, прежде всего, необходимо начертить диаметр фигуры. Это позволит получить сразу две из нужных четырех точек. Далее нужно взять циркуль, растянуть его ножки по диаметру, после чего одну из них оставить на одном из концов диаметра, а другой сделать засечки за пределами круга снизу и сверху (см. фото).

То же необходимо сделать и для другого конца диаметра. После этого полученные за пределами круга точки соединяются при помощи линейки и карандаша. Полученная линия будет вторым диаметром, который будет идти четко перпендикулярно первому, в результате чего фигура будет поделена на 4 части. Для того чтобы получить, например, 8 равных частей, полученные прямые углы можно разделить пополам и провести через них диагонали.

Иногда для изготовления трафаретов, шаблонов, рисунков, выкроек, поделок необходимо разделить на 6 частей .
Например, нам потребовалось изготовить шаблон для цветка в виде шестиконечной звезды.

Для тех, кто забыл геометрию, напоминаю, что разделить окружность на 6 частей можно двумя способами:

1. С помощью транспортира .
2. С помощью циркуля .

1. Как разделить окружность на 6 частей с помощью транспортира

Разделить окружность с помощью транспортира очень просто.

Проводим линию, соединяющую центр и любую точку (например, точку 1) на окружности. От этой линии с помощью транспортира откладываем угол 60, 120, 180 градусов. Ставим на окружности точки (например, точки 2, 3, 4) Разворачиваем транспортир и делим другую часть окружности таким же способом.

2. Как разделить окружность на 6 частей с помощью циркуля

Бывает, что под рукой нет транспортира. Тогда окружность можно разделить на 6 равных частей с помощью циркуля.

Чертим окружность, например, радиусом 5 см. (окружность красного цвета). Не изменяя радиуса, переносим ножку циркуля на окружность (точка 1) и чертим еще одну окружность. Получаем две точки пересечения черной и красной окружностей 6 и 2.

Переносим ножку циркуля в точку 2 и опять проводим окружность. Получаем точку 3.

Переносим ножку циркуля в точку 3. Опять чертим окружность.

Таким образом, продолжаем делить окружность, пока не разделим ее на 6 равных частей.

Можно разделить двумя способами. Для одного из них вам понадобится циркуль и линейка, а для второго - линейка и транспортир. Какой вариант предпочтительнее - решать вам.

Вам понадобится

• - циркуль
• - линейка
• - транспортир

Инструкция

Пусть дан круг радиуса R. Надо поделить его на три равные части с помощью циркуля. Раскройте циркуль на величину радиуса круга. Можно воспользоваться при этом линейкой, а можно поставить иглу циркуля в центр круга, а ножку отвести до окружности, описывающей круг. Линейка в любом случае еще пригодится позже.Установите иглу циркуля в произвольном месте на окружности, описывающей круг, и грифелем нарисуйте небольшую дугу, пересекающую внешний контур круга. Затем установите иглу циркуля в найденную точку пересечения и еще раз проведите дугу тем же радиусом (равным радиусу круга). Повторяйте эти действия, пока следующая точка пересечения не совпадет с самой первой. Вы получите шесть точек на окружности, расположенных через равные промежутки. Остается выбрать три точки через одну и линейкой соединить их с центром круга, и вы получите поделенный натрое круг.

Чтобы поделить круг на три части с помощью транспортира, достаточно вспомнить, что полный оборот вокруг своей оси составляет 360°-. Тогда угол, соответствующий одной трети круга, составляет 360°-/3 = 120°-. Теперь отложите три раза угол в 120°- на внешней стороне круга и соедините полученные точки на окружности с центром.

Обратите внимание

Если вы соедините точки не с центром, а между собой, то получите равносторонний треугольник.

Способ, описанный в первом шаге, также позволяет получить деление круга на шесть равных частей.

Деление окружности на равные части

Деление на 3 части (рис. 12, а ). Из конца диаметра окружности проводят дугу радиусом R , равным радиусу окружности. Дуга образует на окружности две необходимые точки. Третья точка находится на противоположном конце диаметра.

Деление на 4 и 8 частей . При делении окружности на 4 части помогут циркуль и линейка, с помощью которых необходимо провести два взаимно перпендикулярных диаметра (рис. 12, б ). Если провести один диаметр и из одного его конца описать дугу несколько большую, чем радиус R , а из противоположного конца диаметра провести другую дугу этого же радиуса, то, соединив точки их пересечения прямой линией (которая пройдет через центр), получим второй диаметр, перпендикулярный первому. Точки пересечения перпендикулярных диаметров с окружностью делят ее на 4 равные части.

Для деления окружности на 8 равных частей (рис. 12, в ) необходимо построить две пары взаимно перпендикулярных диаметров.

Рис. 12. Деление окружности на равные части: а – на три части; б – на четыре части; в – на восемь частей; г – на пять частей (1-й способ); д – на пять частей (2-й способ); е – на шесть частей; ж – на семь частей.

Деление на 5 частей . Деление окружности на 5 частей можно выполнить несколькими способами. Первый способ (рис. 12, г ) предполагает использование циркуля и линейки. Сначала уже известным способом необходимо провести два взаимно перпендикулярных диаметра. После этого радиус R нужно разделить пополам: из крайней точки пересечения горизонтального диаметра необходимо провести дугу радиуса R и через две точки, образовавшиеся при пересечении этой дуги с окружностью, провести прямую линию – она разделит горизонтальную линию радиуса R пополам. Из точки деления (?R ) проводят дугу радиусом r (равным расстоянию от точки?R до точки пересечения окружности с вертикальным диаметром). Эта дуга пересечет вторую половину горизонтального диаметра в точке С . Отрезок, равный расстоянию от точки С до точки пересечения окружности с вертикальным диаметром, будет соответствовать стороне вписанного в окружность искомого пятиугольника. Необходимо установить циркуль на величину, равную длине этого отрезка, и из верхней точки пересечения окружности с вертикальным диаметром провести дугу заданного радиуса – точка ее пересечения с окружностью будет следующей вершиной пятиугольника. Из найденной вершины нужно провести еще одну дугу заданного радиуса – это будет третья вершина пятиугольника, из которой, в свою очередь, нужно будет провести следующую дугу, и так пока окружность не будет разделена на 5 равных частей. Если после этого провести очередные пять дуг заданного радиуса, но начиная из нижней точки пересечения окружности с вертикальным диаметром, то окружность разделится на 10 равных частей. Кроме того, на рис. 12, г , выделен отрезок СО на горизонтальном диаметре, соответствующий 1/10 окружности, то есть если на окружности последовательно провести 10 дуг радиусом, соответствующим величине отрезка СО , окружность также разделится на 10 равных частей.

При втором способе (рис. 12, д ) на диаметре окружности с помощью уже известного приема необходимо найти точку, которая разделит радиус R пополам. Из этой точки проводят прямую линию до пересечения с концом диаметра (точки С ). Затем из точки R /2 проводят дугу радиусом, равным?R , до ее пересечения с проведенной линией в точке Е . Далее циркулем из точки С проводят дугу радиусом, равным отрезку CE, до ее пересечения с окружностью в точках А и В . Отрезок АВ – грань пятиугольника. Теперь остается провести из точек А и В дуги радиусом, равным величине отрезка АВ , чтобы последовательно разделить окружность на 5 частей.

Существует также способ деления окружности на 5 частей с помощью транспортира. К радиусу R окружности необходимо приложить транспортир, построить центральный угол 72° (360: 5 = 72) и провести из центра прямую линию до точки ее пересечения с окружностью. Полученную точку необходимо соединить с точкой пересечения радиуса R на окружности – данный отрезок будет стороной пятиугольника. Проведя из обеих точек дуги радиусом, соответствующим длине данного отрезка, можно разделить окружность на 5 частей.

Деление на 6 и 12 частей (рис. 12, е ). Из точек пересечения окружности с вертикальным диаметром проводят две дуги, радиус которых равен радиусу окружности. Пересечение дуг на окружности образует точки, которые последовательно соединяются хордами. В результате образуется вписанный в окружность шестиугольник. Для разделения окружности на 12 частей делают такое же построение, но только на двух взаимно перпендикулярных диаметрах.

Деление на 7 частей (рис. 12, ж ). Из конца любого диаметра проводят вспомогательную дугу радиусом R . Через точки ее пересечения с окружностью проводят хорду, равную стороне правильно вписанного треугольника (как на рис. 12, а ). Половина хорды равняется стороне вписанного в окружность семиугольника. Теперь достаточно последовательно отложить на окружности несколько дуг радиусом, равным половине хорды, чтобы разделить окружность на 7 частей.

Деление на любое количество частей (рис. 13). В данном случае окружность разделена на 9 частей.

Через центр окружности проводят две взаимно перпендикулярные прямые. Один из диаметров, например CD , по линейке делят на нужное количество равных частей (в данном случае 9), точки нумеруют. Далее из точки D проводят дугу радиусом, равным диаметру данной окружности (2 R ), до пересечения с перпендикулярной прямой АВ . Из точек пересечения А и В проводят лучи, но так, чтобы они проходили только через четные или только через нечетные (как в данном случае) номера. При пересечении с окружностью лучи образуют точки, которые делят окружность на нужное количество частей (в данном случае 9).

Рис. 13. Деление окружности на любое заданное количество частей.